Увеличение обоих параметров бета-распределения при фиксированном отношении сохраняет среднее и уменьшает разброс. Поэтому предельное распределение становится вырожденным, а не ещё одним невырожденным бета-распределением.
Xₙ~Beta(2n,3n); E[Xₙ]=2/5; Var(Xₙ)=6/[25(5n+1)]Условие
Независимые Xₙ имеют распределения Beta(2n, 3n). Исследуйте сходимость по вероятности и по распределению. Источник приводит предел 2/5; ниже добавлено доказательство.
Среднее и дисперсия
Для Beta(α, β) среднее равно α/(α + β), а дисперсия — αβ/[(α + β)²(α + β + 1)]. Эти формулы следуют интегрированием x и x² с бета-плотностью.
Подставим α = 2n, β = 3n:
E(Xₙ) = 2/5;
Var(Xₙ) = 6/[25(5n + 1)].
Среднее постоянно, а дисперсия стремится к нулю. Одной неизменности среднего для сходимости было бы недостаточно; уменьшение дисперсии даёт нужный контроль отклонений.
Сходимость по вероятности
Для любого ε > 0 неравенство Чебышёва даёт:
P(|Xₙ − 2/5| ≥ ε) ≤ 6/[25(5n + 1)ε²] → 0.
Следовательно, Xₙ → 2/5 по вероятности. Независимость членов последовательности для этого доказательства не требуется: достаточно указанных отдельных распределений и их моментов.
Сходимость по распределению
Сходимость по вероятности влечёт сходимость по распределению. Поэтому предел — постоянная 2/5, то есть единичная вероятностная масса в этой точке.
Предельная функция распределения равна 0 при t < 2/5 и 1 при t ≥ 2/5. Для доказательства сходимости по распределению проверяется сходимость функций распределения только в точках непрерывности предельной функции. В самой точке 2/5 требование отсутствует.
Что не следует путать
Нельзя обозначить предел как Beta(2, 3): у этого распределения положительная дисперсия, тогда как у Xₙ она исчезает. Также нельзя делать вывод о поведении каждой реализации из одного факта сходимости дисперсии без дополнительного аргумента о нужном виде сходимости.
Результат задачи относится именно к сходимости по вероятности и по распределению; оба вида здесь ведут к одному постоянному пределу.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 21.11 · CC BY 4.0. Адаптация; доказательство и смысл предела дополнены.