Рекурсия Xn=(1+Xn−1)/2: среднее 1, дисперсия 1/(3·4^n), предел 1

Условие

X_0~U[0,2], X_n=(1+X_{n−1})/2. Найдите E(X_n), Var(X_n) и probability limit.

Ответ источника

E(X_n)=1, variance на каждом шаге умножается на 1/4, plim X_n=1.

Явные формулы

E(X_0)=1, Var(X_0)=1/3. Поэтому

E(X_n)=1 для всех n,

Var(X_n)=1/(3·4^n).

Прямая рекурсия отклонения

X_n−1=(X_{n−1}−1)/2, значит точно

X_n−1=(X_0−1)/2^n.

Так как |X_0−1|≤1 почти наверное, X_n→1 даже почти наверное. Следовательно, convergence in probability из ключа выполняется автоматически.

stochastic_pro, задача 82 · CC0 1.0. Ответы источника сохранены; явная variance и a.s. convergence добавлены.