Условие
X_i iid U[0,1], Y_n=min(X_1,…,X_n). Найдите almost sure limit, probability limit и limiting distribution.
Ответ источника
P(lim Y_n=0)=1; plim Y_n=0; предельное распределение — константа 0.
Проверка
Для ε∈(0,1): P(Y_n>ε)=P(X_1>ε,…,X_n>ε)=(1−ε)^n→0. Это сразу даёт convergence in probability.
Кроме того, Y_n монотонно невозрастает и ограничен снизу нулём, поэтому имеет almost sure limit. Вероятность того, что этот предел превышает ε, равна пределу P(Y_n>ε)=0 для каждого рационального ε>0; следовательно, предел равен 0 почти наверное.
Почти наверное ⇒ по вероятности ⇒ по распределению, поэтому третий вывод следует из первого.
stochastic_pro, задача 75 · CC0 1.0. Три ответа источника сохранены.