Условие
X_i iid U[0,2]. Найдите plim Σ(X_i−X̄)^3/(n+2022).
Ответ источника
Предел равен 0.
Раскрытие
Источник раскрывает куб и применяет LLN. Поскольку n/(n+2022)→1, предел совпадает с третьим центральным моментом распределения:
E[(X−E X)^3].
Для U[0,2] E(X)=1, E(X²)=4/3, E(X³)=2. Поэтому
E(X³)−3E(X)E(X²)+3[E(X)]²E(X)−[E(X)]³ = 2−4+3−1=0.
Симметрия
Тот же результат виден без вычислений: X−1 равномерна на [−1,1], а нечётная функция z³ имеет нулевое среднее.
stochastic_pro, задача 81 · CC0 1.0. Вывод источника сохранён.