Экспонента нормальной величины всегда положительна и обычно асимметрична. Параметр μ описывает среднее логарифма, а не среднее самой величины.
mode=e^(μ−σ²); median=e^μ; mean=e^(μ+σ²/2)
Условие
Известно ln Y ∼ N(μ, σ²), σ > 0. Найдите E(Y), Var(Y), медиану и моду Y. Обозначим Z = ln Y, тогда Y = eᶻ.
Моменты через нормальную экспоненту
Для нормальной Z дополнение квадрата в интеграле даёт E(etZ) = exp(tμ + t²σ²/2). Подставляем t = 1 и t = 2:
E(Y) = exp(μ + σ²/2);
E(Y²) = exp(2μ + 2σ²).
Следовательно:
Var(Y) = exp(2μ + 2σ²) − exp(2μ + σ²) = exp(2μ + σ²)(eσ² − 1).
В общем случае E(Yᵏ) = exp(kμ + k²σ²/2). Нельзя заменить E(eᶻ) на eE(Z): экспонента нелинейна, и разброс Z влияет на среднее Y.
Медиана
Экспонента строго возрастает, поэтому P(Y ≤ eᵘ) = P(Z ≤ u). Медиана нормальной Z равна μ, откуда:
Med(Y) = eμ.
Этот вывод использует порядок значений, а не среднее. Поэтому формула не содержит добавки σ²/2.
Мода
Плотность Y после замены z = ln y равна:
fY(y) = [1/(yσ√(2π))] exp[−(ln y − μ)²/(2σ²)], y > 0.
Дифференцируем её логарифм. Условие максимума: −1 − (ln y − μ)/σ² = 0, значит:
Mode(Y) = exp(μ − σ²).
Множитель 1/y от якобиана существенен: без него максимум ошибочно оказался бы в eᵘ с u = μ.
Сравнение характеристик
При σ > 0 выполняется мода < медиана < среднее. Большие редкие значения сильнее сдвигают среднее, чем медиану, а максимум плотности находится ещё левее.
Все четыре формулы совпадают с источником; вывод через моменты и плотность добавлен при адаптации. При σ = 0 распределение вырождается в постоянную eᵘ при u = μ, поэтому рассуждение о максимуме обычной плотности к этому случаю не применяется.
Логарифм и экспонента в преобразовании распределений · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 18.5 · CC BY 4.0. Адаптация; доказательства дополнены.