Равномерное движение по окружности не даёт равномерного распределения горизонтальной координаты. Возле крайних значений абсцисса меняется медленно, поэтому соответствующая плотность больше.
f_X(x)=1/(π√(1−x²)), −1<x<1
Условие
Точка остановки равномерна на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. X — её абсцисса. Найдите плотность X, функцию распределения и вероятность попадания в короткий интервал [x; x + Δ] с точностью до o(Δ).
Сюжет исходной задачи о движении по окружности заменён нейтральной геометрической формулировкой. Равномерность относится к длине окружности, не к площади круга.
Угол и длина дуги
Пусть Θ равномерна на [0; 2π), тогда X = cos Θ. Для каждой внутренней абсциссы −1 < x < 1 существуют две точки окружности. На каждой ветви модуль производной угла по координате равен 1/√(1 − x²).
Две короткие дуги суммарно имеют длину примерно 2Δ/√(1 − x²). Делим на полную длину окружности 2π:
fX(x) = 1/[π√(1 − x²)], −1 < x < 1.
Вне [−1; 1] плотность нулевая. Для фиксированного внутреннего x:
P(x ≤ X ≤ x + Δ) = Δ/[π√(1 − x²)] + o(Δ), Δ → 0+.
Функция распределения
Интегрирование от левого края носителя даёт:
FX(x) = 1/2 + arcsin(x)/π при −1 ≤ x ≤ 1.
При x < −1 функция равна 0, при x > 1 — 1. Проверяем: F(−1) = 0, F(0) = 1/2 и F(1) = 1.
Исправление нормировки источника
В зафиксированном исходном решении у плотности пропущен множитель 1/π. Интеграл 1/√(1 − x²) по [−1; 1] равен π, а не 1, поэтому такая запись не нормирована. Здесь деление на длину окружности восстанавливает правильный коэффициент.
Проверки и крайние точки
По симметрии E(X) = 0. Дополнительная проверка через угол: E(X²) = E(cos²Θ) = 1/2. Из функции распределения получаем P(|X| ≤ 1/2) = 1/3.
Плотность растёт без ограничения при приближении к ±1, но интеграл остаётся конечным. Вероятности точных значений X = ±1 равны нулю. Линейное приближение с конечным f(x) на самих концах неприменимо; оно было сформулировано только для внутренних точек.
Координата равномерной точки в фигуре · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 9.25 · CC BY 4.0. Адаптация; нормировка исправлена, функция распределения добавлена.