Если длина подходящего промежутка случайна, вероятность семи попаданий нужно усреднять после возведения длины в седьмую степень. Возведение среднего в степень отвечает на другой вопрос.
U(5)−U(3)=сумма двух соседних промежутков
Условие
Десять точек независимо и равномерно выбирают на [0; 1], затем упорядочивают: Y₁ ≤ … ≤ Y₁₀. Ещё семь точек выбирают независимо и равномерно на том же отрезке, независимо от первых десяти. Найдите вероятность, что все новые точки окажутся между Y₃ и Y₅.
Прямой подсчёт порядков семнадцати точек
После объединения двух выборок все способы расставить метки «старая» на десяти позициях среди семнадцати равновероятны. Их число C(17, 10) = 19 448. Совпадения точек имеют вероятность ноль.
Для нужного события первые три позиции обязательно заняты старыми точками. Затем до пятой старой точки должны разместиться семь новых и четвёртая старая. Положение четвёртой старой среди этих восьми позиций выбирается восемью способами. После них остаются шесть старых точек — от пятой до десятой.
P = 8/C(17, 10) = 1/2431 ≈ 0,000411353.
Это примерно 0,04114%. Подсчёт использует только взаимный порядок точек, а не их конкретные координаты.
Проверка через длину промежутка
Пусть L = Y₅ − Y₃. При известных первых десяти точках вероятность семи попаданий равна L⁷. Поэтому безусловная вероятность равна E(L⁷).
Длина L включает два из одиннадцати равномерных промежутков и имеет распределение Beta(2, 9). Его седьмой момент:
E(L⁷) = (2 · 3 · … · 8)/(11 · 12 · … · 17) = 1/2431.
Так получается тот же ответ, что и при подсчёте меток.
Исправление исходного решения
В источнике указано (2/11)⁷, то есть [E(L)]⁷. Но E(L⁷) ≠ [E(L)]⁷: длина L меняется от выборки к выборке. Длинные промежутки дают непропорционально большой вклад в семь одновременных попаданий.
Здесь правильная вероятность примерно 0,00041135, тогда как степень средней длины — около 0,0000065684. Это не ошибка округления, а неверный порядок двух операций: сначала нужно вычислить условную вероятность, затем усреднить.
Случайные длины и смещение выбора · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 4.25 · CC BY 4.0. Адаптация; ответ исправлен и проверен двумя способами.