Наблюдение второго результата может менять вероятность первого. Это не влияние будущего на прошлое, а изменение нашего знания о совместном исходе эксперимента.
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
Условие
В урне 5 белых и 11 красных шаров. Два шара последовательно извлекают без возвращения. Найдите вероятность красного второго шара и вероятность белого первого при условии, что второй красный.
Обозначим B₁ — первый шар белый, R₁ — первый красный, R₂ — второй красный. Все порядки двух различных шаров равновероятны.
Вероятность красного второго шара
По симметрии каждый из 16 шаров имеет одинаковый шанс занять вторую позицию. Поэтому P(R₂) = 11/16.
Проверим формулой полной вероятности. После белого первого шара красных остаётся 11 из 15; после красного — 10 из 15:
P(R₂) = (5/16)(11/15) + (11/16)(10/15) = 11/16.
Совпадение с вероятностью красного первого шара не означает независимости извлечений. Их безусловные распределения одинаковы, но условные вероятности меняются.
Обратное условие
Событие «первый белый, второй красный» имеет вероятность (5/16)(11/15) = 11/48. Следовательно:
P(B₁ | R₂) = (11/48)/(11/16) = 1/3.
Без наблюдения второго шара вероятность белого первого была 5/16. Известный красный результат немного увеличивает её: один красный шар уже занят второй позицией.
Проверка без формулы Байеса
Можно мысленно сначала зафиксировать красный шар на второй позиции. Для первой позиции остаётся 15 шаров: 5 белых и 10 красных. Каждый равновероятен, поэтому белый первый имеет вероятность 5/15 = 1/3.
При выборе с возвращением ответ был бы другим: второй результат не менял бы информацию о первом, и условная вероятность осталась бы 5/16. Поэтому правило возвращения шаров — существенная часть модели.
В исходном решении один раз написано «чёрный» вместо «красный». Здесь термин исправлен в соответствии с условием; формулы и ответы сохранены.
Последовательный выбор без возвращения · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.6 · CC BY 4.0. Адаптация; обозначение цвета уточнено.