Три ежа находятся в разных вершинах треугольника. Каждый ход все обязаны перейти в соседнюю вершину. Встречей считается только одновременное нахождение всех троих в одной вершине после хода, а не пересечение на ребре.
P(T=t) определяется переходами конфигураций трёх ежей
Условие
Каждую минуту каждый ёж независимо выбирает движение по часовой стрелке с вероятностью p и против неё с вероятностью 1 − p. Найдите P(T = 1), P(T = 2), P(T = 3) и E(T), где T — время первой общей встречи. Сначала рассмотрим p = 1/2, затем общий случай.
В источнике решение заполнено лишь частично. Ниже добавлен расчёт через конечную цепь состояний; его общие формулы не следует приписывать исходному тексту.
Правильная монета: достаточно двух незавершённых состояний
Обозначим A — все в разных вершинах, B — двое вместе, третий отдельно, C — общая встреча. При p = 1/2 восемь комбинаций трёх направлений равновероятны. Подсчёт даёт:
| Текущее состояние | В A | В B | В C |
|---|---|---|---|
| A | 1/4 | 3/4 | 0 |
| B | 1/4 | 5/8 | 1/8 |
За один ход встреча невозможна: ёж, уже стоящий в предполагаемой вершине встречи, обязан уйти. За два хода нужен путь A → B → C:
P(T = 1) = 0; P(T = 2) = (3/4)(1/8) = 3/32.
За три хода допустимы A → A → B → C и A → B → B → C. Поэтому P(T = 3) = 21/256.
Среднее время
Пусть a и b — средние оставшиеся времена из A и B. Метод первого шага даёт a = 1 + a/4 + 3b/4 и b = 1 + a/4 + 5b/8. Решая, получаем b = 32/3 и E(T) = a = 12 минут.
Несимметричный выбор направления
При 0 < p < 1 положим r = p(1 − p). Точный результат:
P(T = 1) = 0;
P(T = 2) = 6r³;
P(T = 3) = 21r³(1 − 3r);
E(T) = 3/r.
Для воспроизводимого расчёта можно закрепить первого ежа в относительном нуле. Положения двух остальных — пара (a, b) по модулю 3. Начало — (1, 2), поглощение — (0, 0). Для направлений d₁, d₂, d₃ из {−1, +1} переход ведёт в (a + d₂ − d₁, b + d₃ − d₁) по модулю 3 и имеет вероятность p в степени числа положительных направлений, умноженную на (1 − p) в степени остальных.
Полученная матрица Q восьми непоглощающих состояний даёт вероятности остановки через Q, а среднее — решением (I − Q)t = 1. Эти формулы проверены символьным решением системы. При p = 1/2 они возвращают 3/32, 21/256 и 12. При p = 0 или 1 все движутся одинаково и никогда не встречаются.
Метод первого шага · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 2.7 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; полный расчёт редакции.