Экзаменационные задачи выбираются без возвращения: одна и та же задача не появляется в наборе дважды. Поэтому число знакомых задач описывается гипергеометрическим, а не биномиальным распределением.
Условие
В задачнике N задач. Вася умеет решать a из них, остальные не умеет. На экзамене равновероятно выбирают набор из n разных задач. Пусть X — число задач, которые Вася сможет решить. Найдите E(X) и Var(X).
Предполагается 0 ≤ a ≤ N и 0 ≤ n ≤ N. В исходном сборнике решение не заполнено; ниже приведён редакционный вывод для этой модели.
Распределение числа знакомых задач
Всего наборов C(N; n). Чтобы получить ровно k знакомых задач, нужно выбрать k из a знакомых и n − k из N − a незнакомых:
P(X = k) = C(a; k) · C(N − a; n − k) / C(N; n).
Допустимые значения удовлетворяют max{0; n − (N − a)} ≤ k ≤ min{n; a}. За этими границами вероятность нулевая. Формула распределения добавлена здесь как основа для проверки моментов.
Математическое ожидание
Мысленно упорядочим выбранный набор случайным образом. Пусть Ij показывает, знакома ли задача на j-м месте. Для каждой позиции вероятность знакомой задачи одинакова и равна p = a/N.
Поскольку X = I₁ + … + In, получаем:
E(X) = np = na/N.
Для этой формулы независимость индикаторов не требуется. Каждая позиция вносит одинаковый ожидаемый вклад, хотя содержимое разных позиций связано.
Зависимость двух позиций
При N > 1 вероятность того, что две разные позиции заняты знакомыми задачами, равна:
E(IiIj) = a(a − 1) / [N(N − 1)].
После попадания знакомой задачи на первую позицию знакомых осталось a − 1, а всего задач — N − 1. Вычитая p², находим:
Cov(Ii, Ij) = −p(1 − p)/(N − 1).
Знак минус связан с выбором без возвращения: один выбранный знакомый объект уменьшает их долю среди оставшихся.
Дисперсия
Суммируем n дисперсий индикаторов и n(n − 1) ковариационных вкладов:
Var(X) = np(1 − p) − n(n − 1)p(1 − p)/(N − 1).
После упрощения:
Var(X) = n · (a/N) · (1 − a/N) · (N − n)/(N − 1), N > 1.
Последний множитель — поправка на конечную совокупность. Без него получилась бы биномиальная дисперсия для независимых выборов с возвращением.
Численный пример и крайние случаи
Редакционный пример: N = 40, a = 30, n = 4. Тогда E(X) = 3, а Var(X) = 4 · (3/4) · (1/4) · 36/39 = 9/13 ≈ 0,6923.
Если n = N, весь набор известен заранее и X = a, поэтому дисперсия равна нулю. Если a = 0 или a = N, результат также определён. При N = 1 допустимые случаи вырождены, и Var(X) = 0 нужно записать отдельно, не подставляя в знаменатель N − 1.
Связанные материалы
Выбор без возвращения: задача о лампочках · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 12.13 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение и пример редакции.