При вероятности успеха 0,99 редким событием является не успех, а неудача. Поэтому для приближения Пуассона удобнее считать неприжившиеся деревья, а не прижившиеся.
Условие
Садовник посадил 500 деревьев. Каждое приживается независимо от остальных с вероятностью 0,99. Найдите точную вероятность того, что приживутся ровно 499 деревьев, приближённый ответ по Пуассону и фактическую ошибку приближения. Сравните её с указанной в условии границей min{p; np²}.
В сборнике решение не заполнено. Расчёты ниже выполнены редакцией по исходным данным.
Переход к редким неудачам
Обозначим через D количество неприжившихся деревьев. Для одного дерева вероятность неудачи равна p = 0,01, а число независимых испытаний n = 500. Тогда D имеет биномиальное распределение Bin(500; 0,01).
Ровно 499 прижившихся деревьев означают ровно одну неудачу: D = 1. Среднее количество неудач равно np = 5, поэтому событие D = 1 возможно, но лежит заметно ниже среднего.
Точный ответ
Выбираем одно неприжившееся дерево из 500, затем учитываем вероятность его неудачи и успеха всех остальных:
P(D = 1) = C(500; 1) · 0,01 · 0,99499 = 5 · 0,99499 ≈ 0,03318425779.
Это примерно 3,31843%. Показатель 499 относится к остальным деревьям, а не ко всему количеству 500: выделенное дерево уже учтено множителем 0,01.
Приближение Пуассона
Заменим D пуассоновской величиной с параметром λ = np = 5. Тогда:
P(D = 1) ≈ e−5 · 5¹/1! = 5e−5 ≈ 0,03368973500.
Приближение немного завышает вероятность. Параметр λ = 495 здесь не нужен: он соответствовал бы подсчёту частых успехов, а не выбранному редкому событию.
Фактическая ошибка
Абсолютная ошибка — разность двух вероятностей по модулю:
|0,03368973500 − 0,03318425779| ≈ 0,00050547721.
В процентах вероятности это около 0,05055 процентного пункта. Относительная ошибка по отношению к точному ответу составляет примерно 1,5232%. Эти две меры нельзя смешивать: у них разные знаменатели.
Сравнение с границей из условия
Для выбранного счётчика неудач p = 0,01, поэтому:
min{p; np²} = min{0,01; 500 · 0,01²} = min{0,01; 0,05} = 0,01.
Фактическая абсолютная ошибка примерно в 19,8 раза меньше этой границы. Верхняя оценка не обязана близко совпадать с ошибкой для конкретного события; она ограничивает её сверху.
Что проверить в похожей задаче
Сначала определите редкое событие и переведите требуемое число успехов в число неудач, если это удобнее. Затем сопоставляйте одинаковое событие в точной и приближённой моделях. Ошибка в выборе счётчика не исправляется увеличением числа знаков после запятой.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 10.4 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение и численная проверка редакции.