По числу положительных и отрицательных отзывов нельзя получить единственную прогнозную вероятность без статистической модели. Здесь рассматривается конкретная модель из учебной задачи, а не универсальный способ оценивать реальные товары.
Условие и модель
На товар оставили 25 положительных и 10 отрицательных отзывов. Какова вероятность, что следующий отзыв будет положительным?
Используем равномерную модель, на которой основано решение источника. Качество товара θ — случайная точка на отрезке [0, 1]. Каждому покупателю соответствует независимо выбранный равномерный порог приемлемого качества на том же отрезке. Покупатель доволен, когда качество товара правее его порога. Качество товара и все пороги первоначально независимы и равномерны.
Решение через случайные промежутки
Всего отмечены 35 порогов прежних покупателей и точка качества товара. Вместе с границами 0 и 1 они образуют 37 промежутков.
Условие «25 положительных и 10 отрицательных» означает, что точка товара находится после 25 порогов и перед 10 оставшимися. От левой границы до точки товара расположены 26 промежутков.
По симметрии равномерных независимых точек средняя длина каждого промежутка при таком порядке равна 1/37. Новый независимый покупатель будет доволен, если его порог попадёт слева от θ. Поэтому искомая вероятность равна средней длине этого участка:
P(следующий отзыв положительный | 25 положительных, 10 отрицательных) = 26/37 ≈ 0,7027.
Это ответ и геометрическая идея источника. В сборнике отрезок дополнительно замыкается в окружность с точкой разреза; здесь тот же подсчёт записан непосредственно через промежутки на отрезке.
Редакционная проверка по формуле Байеса
При фиксированном θ вероятность положительного отзыва равна θ. Наблюдённые отзывы дают множитель правдоподобия θ²⁵(1 − θ)¹⁰. После наблюдений распределение θ — Beta(26, 11).
Вероятность следующего положительного отзыва равна условному среднему θ. Среднее этого бета-распределения равно 26/(26 + 11) = 26/37. Это дополнительная проверка, а не отдельное утверждение исходного решения.
Почему не 25/35
25/35 — наблюдённая доля положительных отзывов. Ответ 26/37 учитывает заданное равномерное исходное распределение неизвестного качества. Другая исходная модель может дать другой прогноз.
Для реальных отзывов независимость, одинаковые пороги покупателей и отсутствие отбора авторов отзывов требуют отдельного обоснования. В этой задаче они являются условиями модели.
Связанные материалы
Вероятность и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники probability_pro · задача 4.24 · CC BY 4.0. Адаптировано; модель явно записана, добавлена байесовская проверка.