Экзаменационное условие
(X,Y) равномерна в квадрате [0,4]^2. Найдите E(Y|Y−X), Var(Y|Y−X), примеры событий из σ(Y−X) и вне неё, а также Cov(X,Y|Y−X).
Ключ источника
При D=Y−X:
E(Y|D)=(4+D)/2;
Var(Y|D)=(4−|D|)^2/12;
Cov(X,Y|D)=Var(Y|D).
Примеры из σ(D): {X>Y}, {X>Y+0,5}; вне неё: {X>2}, {Y<3}.
Геометрический вывод
При фиксированном d точка лежит на отрезке y=x+d внутри квадрата. Условная плотность вдоль этого отрезка постоянна. Диапазон Y имеет длину 4−|d|, а середина диапазона равна (4+d)/2. Для равномерного интервала длины L дисперсия L²/12.
Ковариация
При условии D известно X=Y−D. Поэтому Cov(X,Y|D)=Cov(Y−D,Y|D)=Var(Y|D).
Событие принадлежит σ(D), если его истинность определяется только значением разности, а не положением точки вдоль соответствующей диагонали. Это объясняет примеры ключа.
Экзамен tssp_exams 2025–2026b · условие · ключ · CC0 1.0. Решение источника развёрнуто геометрически.