Условие
На [0,1]² дана совместная плотность f(x,y)=c e^{x−y}. Найдите E(X|Y), Var(X|Y).
Ответ источника
Нормировка: c=e/(e−1)². Плотность раскладывается в произведение функции x и функции y, поэтому X и Y независимы. Источник даёт E(X|Y)=E(X)=1/(e−1) и Var(X|Y)=Var(X).
Редакционное вычисление дисперсии
Маргинальная плотность X равна e^x/(e−1) на [0,1].
E(X²)=(e−2)/(e−1). Поэтому
Var(X|Y)=Var(X)=(e²−3e+1)/(e−1)²≈0,079326.
Условный закон X не меняется при известном Y именно благодаря независимости, а не просто из-за нулевой ковариации.
stochastic_pro, задача 132 · CC0 1.0. Независимость и среднее из ключа; численная дисперсия завершена редакцией.