Условие
y_t=2+0,5y_{t−1}+u_t, t≥0, u_t iid N(0,σ²). Найдите разные stationary processes, сравните forecasts и затем рассмотрите t∈Z.
Ответ источника
Ключ приводит, например, разные начальные coupling: y0=4±2u0/√3 (при соответствующем масштабе в примере) и отмечает существование других.
Несмотря на разные конструкции на полуоси, forecast distributions одинаковы. Если процесс задан на всей Z, stationary solution почти наверное уникален.
Смысл
Stationary marginal law для AR(1) имеет mean 4 и variance σ²/(1−0,25)=4σ²/3. На полуоси можно по-разному связать y0 с шумом, не меняя требуемые конечномерные законы будущего. На двусторонней временной оси causal stationary representation фиксируется бесконечным прошлым.
stochastic_pro, задача 282 · CC0 1.0. Три вывода источника сохранены; масштаб variance пояснён.