Условие
В Black–Scholes модели с rate r, volatility σ и S0 найдите цену в t=0 claim, который в T=2 платит X2=S1³.
Ответ источника
X0=e^{-2r}E_Q[X2]=S0³e^{r}e^{3σ²}.
Проверка
Под risk-neutral measure S1=S0 exp[(r−σ²/2)+σW1]. Куб:
S1³=S0³ exp(3r−3σ²/2+3σW1).
E exp(3σW1)=exp(9σ²/2), поэтому E_Q(S1³)=S0³exp(3r+3σ²). Дисконтирование на два периода даёт S0³exp(r+3σ²).
Необычность задачи в том, что payoff в момент 2 зависит от цены в промежуточный момент 1, но выплата всё равно дисконтируется от T=2.
stochastic_pro, задача 240 · CC0 1.0. Итоговая формула источника сохранена.