Bin(n,λ/n) → Poisson(λ): ожидание, variance и point probabilities

Условие

X~Bin(n,p=λ/n). Исследуйте mean, limiting variance и предел P(X=k).

Ответ источника

E(X)=λ.

Var(X)=λ(1−λ/n)→λ.

P(X=0)→e^{-λ}, P(X=1)→λe^{-λ}.

В общем случае для фиксированного k:

P(X=k)→e^{-λ}λ^k/k!.

Смысл

Это law of small numbers: число редких независимых успехов при большом n и фиксированном ожидаемом количестве λ приближается Poisson(λ).

stochastic_pro, задача 190 · CC0 1.0. Все четыре пункта ключа сохранены.