Экспоненциальный мартингал для шагов +1 с p=0,9 и −1 с p=0,1

Для Yt=a exp(bΣXi) при ненулевом a мартингальность требует b=0 или b=ln(1/9); при a=0 подходит любое b.

Условие

P(X_i=1)=0,9, P(X_i=−1)=0,1. Найдите a,b, для которых Y_t=a exp(bΣ_{i≤t}X_i) — мартингал.

Ответ источника

Для a≠0 условие E[e^{bX}]=1 даёт b=0 или b=ln(1/9). Тривиально a=0 подходит при любом b.

Проверка

E(Y_{t+1}|F_t)=Y_t[0,9e^b+0,1e^{-b}]. Приравнивая множитель к 1 и обозначая z=e^b>0, получаем 9z²−10z+1=0, корни z=1 и 1/9.

stochastic_pro, задача 156 · CC0 1.0. Оба нетривиальных b и тривиальный случай источника сохранены.