Условие
S_n — простое симметричное random walk. Найдите детерминированную a_n такую, что M_n=S_n³+a_nS_n — мартингал.
Ответ источника
a_n=−3n; можно добавить любую константу.
Проверка
Пусть ξ_{n+1}=±1 равновероятно и S_{n+1}=S_n+ξ. Тогда
E[(S_n+ξ)³|F_n]=S_n³+3S_n,
поскольку Eξ=0, Eξ²=1, Eξ³=0.
Также E[S_{n+1}|F_n]=S_n. Поэтому
E[M_{n+1}|F_n]=S_n³+[3+a_{n+1}]S_n.
Для равенства M_n=S_n³+a_nS_n нужно a_n=a_{n+1}+3, то есть a_{n+1}=a_n−3. Решение a_n=C−3n.
Выбор C=0 даёт классическую форму S_n³−3nS_n.
stochastic_pro, задача 153 · CC0 1.0. Ответ источника сохранён и проверен.