Линейная комбинация нормальных: 2X−Y при correlation 0,5

Научная визуализация Линейная комбинация нормальных: 2X−Y при correlation 0,5

Линейная комбинация нормальных: 2X−Y при correlation 0,5. Ковариационный член уменьшает дисперсию 2X−Y.

Var(2X−Y)=4+1−4·0,5=3

Ковариационный член уменьшает дисперсию 2X−Y.

Задача

(X,Y) совместно нормальны, E=0, Var X=Var Y=1, Corr=0,5. Найдите распределение Z=2X−Y.

E(Z)=0.

Cov(X,Y)=0,5. Поэтому

Var(Z)=4VarX+VarY−4Cov(X,Y)=4+1−2=3.

Линейная комбинация совместно нормального вектора нормальна:

Z∼N(0,3).

Если известны только нормальные marginals без joint normality, линейная комбинация не обязана быть нормальной.

Редакционная практика по многомерной нормали probability_pro · CC BY 4.0.