L(n)∝(n−1)(n−2)/n³; максимум при n=5
Условие
Предполагается n равновероятных видов. В четырёх независимых наблюдениях встретились ровно три разных вида: один дважды и два по одному разу. Оцените n методом максимального правдоподобия.
Ответ источника
Ключ получает n̂=5 и противопоставляет его ошибочному решению n=3, возникающему при игнорировании возможности ненаблюдаемых видов.
Правдоподобие рисунка совпадений
Если используются только отношения равенства между четырьмя наблюдениями, число разбиений четырёх позиций на один блок размера 2 и два одиночных равно C(4,2)=6. Поэтому L(n)=6n(n−1)(n−2)/n⁴=6(n−1)(n−2)/n³, n≥3.
В исходном выводе стоит множитель 3 вместо 6. Он не зависит от n, поэтому не меняет ММП, но точная вероятность события требует 6.
Почему максимум при 5
Постоянный множитель можно отбросить. Для целых n≥3 значения (n−1)(n−2)/n³ растут до n=5 и затем уменьшаются: при 3,4,5,6 получаем 2/27,6/64,12/125,20/216. Наибольшее — при n=5.
Какая информация используется
Как и в решении источника, используется occupancy-pattern — число разных категорий и их кратности, а не заранее фиксированные названия конкретных видов. При иной схеме наблюдения правдоподобие потребовало бы другой модели.
statistics_pro 5.34 · CC0 1.0 · ММП 5 сохранена; комбинаторный коэффициент уточнён.