Плотность через ln ln X: ММП и информация Фишера

Научная визуализация Плотность через ln ln X: ММП и информация Фишера

Плотность через ln ln X: ММП и информация Фишера. n=100 и Σln ln Xᵢ=−30; максимум при θ=10/3.

θ̂=−n/Σln(ln Xᵢ); I_n(θ)=n/θ²

n=100 и Σln ln Xᵢ=−30; максимум при θ=10/3.

Условие

Плотность имеет вид f(x)=θ(ln x)^{θ−1}/x на [1,e]. По выборке из 100 наблюдений Σln(lnXᵢ)=−30. Найдите ММП, общую формулу, ожидаемую и наблюдаемую информацию Фишера и 95%-й интервал.

Начало решения источника

Ключ выписывает ℓ(θ)=nlogθ+(θ−1)Σlog(logxᵢ)−Σlogxᵢ и производную n/θ+Σlog(logxᵢ).

Оценка

Из score=0 получаем θ̂=−n/Σln(lnXᵢ). Для данных задачи θ̂=100/30=10/3≈3,333333. Вторая производная −n/θ² отрицательна.

Информация

Наблюдаемая информация равна J(θ)=n/θ²; поскольку она не зависит от данных, ожидаемая информация имеет ту же формулу. При θ̂ стандартная ошибка большого выборочного приближения равна θ̂/√n=1/3.

95%-й интервал

Обычный интервал Вальда: θ̂±1,959964·θ̂/√n≈[2,680012;3,986655]. Поскольку θ>0, можно также применить дельта-метод к logθ и получить положительный интервал θ̂·exp(±1,959964/√n), приблизительно [2,740;4,055]. Второй вариант — редакционное дополнение.

Проверка заменой переменной

T=lnX лежит на [0,1] и имеет плотность θt^{θ−1}. Поэтому −lnT экспоненциальна с интенсивностью θ. Это независимо подтверждает оценку и информацию.

statistics_pro 5.14 · CC0 1.0 · начало ключа сохранено, расчёт завершён.