Основное тождество
Если Σaᵢ=Σbᵢ=n и bᵢ>0, то
Σ(aᵢ−bᵢ)²/bᵢ+n=Σaᵢ²/bᵢ.
Доказательство источника
Возьмём xᵢ=(aᵢ−bᵢ)/√bᵢ и yᵢ=√bᵢ. Тогда x·y=Σ(aᵢ−bᵢ)=0. По Пифагору ‖x‖²+‖y‖²=‖x+y‖². Здесь ‖y‖²=Σbᵢ=n, а xᵢ+yᵢ=aᵢ/√bᵢ.
Тест заданного распределения
Подставьте aᵢ=νᵢ, bᵢ=npᵢ:
χ²=Σ(νᵢ−npᵢ)²/(npᵢ)=Σνᵢ²/(npᵢ)−n.
Таблица независимости
Для ячейки ij ожидаемая частота bᵢⱼ=ν_{i·}ν_{·j}/n. Сумма ожидаемых частот равна n, поэтому
χ²=Σνᵢⱼ² n/(ν_{i·}ν_{·j})−n.
Формулы требуют положительных ожидаемых частот в используемых ячейках. Они ускоряют арифметику, но не меняют условия применимости χ²-приближения и подсчёт степеней свободы.
statistics_pro 13.4 · CC0 1.0 · геометрическое доказательство источника сохранено.