Условие
X₁,…,X₁₆ независимы N(μ,4). Проверяется H0:μ=0 против простой альтернативы Ha:μ=2. Найдите наиболее мощный критерий уровня α=0,05.
Лемма Неймана — Пирсона
Отношение правдоподобий для μ=2 и μ=0 монотонно возрастает с ΣXᵢ. Поэтому наиболее мощный критерий имеет вид отвергать H0 при X̄≥c.
Настройка уровня
Под H0 X̄∼N(0,4/16)=N(0,1/4), стандартное отклонение равно 0,5. Требуем P(X̄≥c)=0,05, поэтому
c=0,5·z0,95≈0,8224268.
Источник округляет порог до 0,825. Более точное значение сохранено здесь как уточнение.
Мощность при μ=2
Редакционное дополнение: под альтернативой X̄∼N(2,1/4), поэтому мощность равна 1−Φ((c−2)/0,5)≈0,9907. Это высокая мощность для заданного эффекта и объёма выборки.
Лемма гарантирует максимальную мощность среди критериев заданного уровня для этой конкретной простой альтернативы μ=2; она не означает универсальную оптимальность для всех возможных альтернатив.
statistics_pro 12.15 · CC0 1.0 · форма критерия сохранена; порог уточнён.