Сначала X на [0,1], затем Y на [0,X]: совместные и условные распределения

Сначала равномерно выбирают верхнюю границу, затем равномерную точку под ней. Полученная пара лежит в треугольнике, но не равномерна по его площади: короткие вертикальные отрезки получают большую условную плотность.

Научная визуализация X~U(0,1), Y|X~U(0,X)

X~U(0,1), Y|X~U(0,X). Совместная плотность живёт в треугольнике 0<y<x<1; вертикальное сечение имеет условную высоту 1/x.

ƒf(x,y)=1/x на 0<y<x<1; f_Y(y)=−ln y

Условие

X равномерна на [0; 1]. После наблюдения X = x величину Y выбирают равномерно на [0; x]. Найдите все отдельные и условные плотности, первые и вторые моменты, дисперсии, ковариацию, корреляцию, условные моменты и вероятности P(Y > 0,2 | X = 0,5), P(Y > 0,2 | X < 0,5).

В исходном сборнике решение не заполнено; ниже дан редакционный вывод. Формулы плотностей записываются внутри носителя; значения в граничных точках не меняют распределения.

Плотности

По конструкции f_X(x) = 1 при 0 < x < 1 и f_Y|X(y | x) = 1/x при 0 < y < x. Поэтому совместная плотность:

f_X,Y(x, y) = 1/x, 0 < y < x < 1.

Для фиксированного y возможны x от y до 1. Интегрирование даёт:

f_Y(y) = ∫_y¹ dx/x = −ln y, 0 < y < 1.

По формуле условной плотности:

f_X|Y(x | y) = 1/[x(−ln y)], y < x < 1.

Вне соответствующих областей плотности нулевые. Интеграл последней формулы по x равен 1.

Безусловные моменты

Из X ∼ U[0; 1] следует E(X) = 1/2 и E(X²) = 1/3. Условно на X имеем E(Y | X) = X/2 и E(Y² | X) = X²/3. Усредняем:

E(Y) = 1/4; E(Y²) = 1/9.

Отсюда Var(X) = 1/12, Var(Y) = 7/144. Для смешанного момента E(XY) = E[X · E(Y | X)] = E(X²)/2 = 1/6. Поэтому:

Cov(X, Y) = 1/24; Corr(X, Y) = √(3/7).

Положительная связь ожидаема: большая верхняя граница X допускает большие значения Y.

Условные моменты при известном X

Для равномерного распределения на [0; x]:

E(Y | X = x) = x/2;
E(Y² | X = x) = x²/3;
Var(Y | X = x) = x²/12.

Эти формулы задают естественную условную модель, указанную в самом способе генерации пары.

Условные моменты при известном Y

Интегрируем x и x² с условной плотностью 1/[x(−ln y)]:

E(X | Y = y) = (1 − y)/(−ln y);
E(X² | Y = y) = (1 − y²)/(−2ln y).

Следовательно:

Var(X | Y = y) = (1 − y²)/(−2ln y) − [(1 − y)/(−ln y)]², 0 < y < 1.

Знание Y не оставляет X равномерной на [y; 1]: условная плотность содержит множитель 1/x.

Два разных условия для вероятности

При X = 0,5 величина Y равномерна на [0; 0,5], поэтому P(Y > 0,2 | X = 0,5) = 0,3/0,5 = 0,6.

При условии X < 0,5 верхняя граница остаётся случайной. Для x ≤ 0,2 нужное событие невозможно; для 0,2 < x < 0,5 его условная вероятность равна 1 − 0,2/x. Делим интеграл на P(X < 0,5) = 0,5:

P(Y > 0,2 | X < 0,5) = 2∫_0,2^0,5(1 − 0,2/x)dx = 0,6 − 0,4ln(2,5) ≈ 0,233484.

Подставить x = 0,5 вместо усреднения по меньшим x было бы неправильно. Различие двух ответов — следствие разных условий, а не несовместимость методов.

Нормировка условной плотности · Математика.

Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.15 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.