U=[[cosα,sinα],[-sinα,cosα]]; Uᵀ=U⁻¹
Условие
Как выглядит матрица U, поворачивающая двумерные векторы на угол α по часовой стрелке? Как связаны Uᵀ и U⁻¹?
Ответ источника
U=[[cosα, sinα], [−sinα, cosα]].
Проверка направления
Для единичного e₁=(1,0) получаем Ue₁=(cosα,−sinα), то есть именно поворот на угол −α в стандартной математической ориентации — по часовой стрелке.
Ортогональность
Столбцы U имеют единичную длину и нулевое скалярное произведение. Поэтому UᵀU=I.
Умножая на обратную матрицу, получаем U⁻¹=Uᵀ. Для этой конкретной матрицы Uᵀ совпадает с поворотом на +α, то есть отменяет исходный поворот.
Сохранение геометрии
Ортогональный поворот сохраняет нормы и скалярные произведения: ||Ux||=||x|| и ⟨Ux,Uy⟩=⟨x,y⟩. Определитель равен +1, что отличает поворот от отражения с det=−1.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 42 · CC BY 4.0. Матрица источника сохранена; связь транспонирования и обратной дописана.