Условие
Известно UᵀU=I. Докажите или опровергните: UUᵀ=I; длины x и Ux одинаковы; скалярные произведения ⟨x,y⟩ и ⟨Ux,Uy⟩ одинаковы; косинусы углов между соответствующими ненулевыми векторами совпадают.
Доказательства источника
(Ux)ᵀUx=xᵀUᵀUx=xᵀx и (Ux)ᵀUy=xᵀUᵀUy=xᵀy. Следовательно, норма и скалярное произведение сохраняются.
Редакционный контрпример к первому утверждению
Возьмите U=(1,0)ᵀ размера 2×1. Тогда UᵀU=[1], но UUᵀ=[[1,0],[0,0]]≠I₂. Прямоугольная матрица с ортонормированными столбцами не обязана иметь ортонормированные строки.
В общем случае UUᵀ — ортогональный проектор на пространство столбцов U. Он действует как единица на этом пространстве, но обнуляет его ортогональное дополнение. Если U квадратна, равенство UᵀU=I действительно делает её ортогональной и даёт UUᵀ=I.
Сохранение углов
Для x≠0 и y≠0 косинус равен ⟨x,y⟩/(‖x‖‖y‖). Числитель и обе нормы сохраняются, поэтому сохраняется и косинус. U не превращает ненулевой x в ноль, поскольку ‖Ux‖=‖x‖>0.
Проверка размеров
Если U имеет n строк и k столбцов, условие UᵀU=I_k возможно только при k≤n. Произведение UUᵀ имеет размер n×n и ранг k. При k<n оно не может равняться I_n уже по рангу. В задаче о нулевых векторах угол не определён, поэтому их исключение — необходимая оговорка, а не дополнительный ответ.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и тождества · CC BY 4.0. Контрпример и вывод об углах добавлены.