Исходное условие
Матрица X имеет размер n×3. Все столбцы центрированы и имеют единичную выборочную дисперсию. В SVD X=UDVᵀ диагональ D равна (3,2,1). Требуется разложение выборочной корреляционной матрицы, её собственные значения и направления.
В исходном ключе ответа нет. Проверка показывает, что числовые предпосылки несовместимы.
Редакционная проверка по следу
При определении выборочной дисперсии с делителем n−1 квадрат нормы каждого столбца равен n−1. Поэтому tr(XᵀX)=3(n−1).
С другой стороны, след равен сумме квадратов сингулярных значений: 9+4+1=14. Получаем n=17/3, что не является целым числом наблюдений. При делителе n получалось бы n=14/3 — тоже невозможно.
Формальный ответ до проверки
Для согласованных стандартизированных данных корреляционная матрица была бы R=V diag(9,4,1)Vᵀ/(n−1). Её собственные векторы — столбцы V, собственные значения — 9/(n−1),4/(n−1),1/(n−1).
Но корреляционная матрица трёх признаков обязана иметь след 3. Указанная формула с допустимым целым n не удовлетворяет этому одновременно с точными исходными числами. Выписать её недостаточно, чтобы решить задачу без оговорки.
Что нужно уточнить
Возможно, сингулярные значения предполагались округлёнными или стандартизация была иной. Источник этого не говорит, поэтому здесь не выбирается произвольная поправка. Для полноценного численного ответа нужно уточнить хотя бы одну предпосылку.
Проверка инвариантов — следа, ранга, суммы квадратов — полезна до выполнения сложного спектрального расчёта. Она обнаруживает невозможные данные, не требуя восстановить всю X.
Борис Демешев и участники · Исходное условие · CC BY 4.0. Несовместимость установлена редакцией; данные не подменены.