Задания
A и B — постоянные матрицы, R — матрица переменных, r — вектор-столбец. Найдите d(ARB), d(rᵀr), d(rᵀAr), d(R⁻¹), d cos(rᵀr) и d[(rᵀAr)/(rᵀr)]. Для симметричной A упростите ответы.
Ключ источника
d(ARB)=A(dR)B; d(rᵀr)=2rᵀdr; d(rᵀAr)=rᵀ(Aᵀ+A)dr; d(R⁻¹)=−R⁻¹(dR)R⁻¹; d cos(rᵀr)=−2sin(rᵀr)rᵀdr.
Дифференциал отношения равен [(rᵀr)rᵀ(Aᵀ+A)dr−2(rᵀAr)rᵀdr]/(rᵀr)². При A=Aᵀ замените Aᵀ+A на 2A. Требуются обратимость R и r≠0 для соответствующих формул.
Вводные упражнения того же сборника
Для f(x)=x²+3x получаем f′=2x+3, df=(2x+3)dx; при x=5, dx=0,1 ответ 1,3. Для f(x₁,x₂)=x₁²+3x₁x₂³ дифференциал равен (2x₁+3x₂³)dx₁+9x₁x₂²dx₂. В точке (−2,1) при приращениях (0,1;−0,1) он равен 1,7. Эти два ответа приведены в источнике.
Редакционное дополнение к незаполненным пунктам
Для F=[[5,6x₁],[x₁x₂,x₁²x₂]] получаем dF=[[0,6dx₁],[x₂dx₁+x₁dx₂,2x₁x₂dx₁+x₁²dx₂]]. Дифференциал постоянной матрицы [[7,8,9],[2,−1,−2]] — нулевая матрица 2×3. Для F размера 2×2 след tr(FᵀdF)=Σᵢⱼ fᵢⱼdfᵢⱼ.
Минус в формуле обратной матрицы следует из d(R⁻¹R)=0. Порядок множителей сохраняется: матрицы в общем случае не коммутируют. Дифференциал является линейной частью изменения, а не всегда точным конечным приращением функции.
Борис Демешев и участники · metrics_pro, два задания · CC BY 4.0. Объединение; незаполненные ответы дополнены явно.