E[U_t]=100(99/100)^t; при t=100 ≈36,603
Условие
Есть 100 песен. Каждый из 100 дней выбирается одна песня равновероятно и независимо; повторения разрешены. Сколько песен в среднем останется ни разу не выбранными?
Ответ источника
100·(99/100)^{100}≈100/e≈37.
Индикаторный вывод
Для песни j введём I_j=1, если её ни разу не спели. В один день вероятность не выбрать фиксированную песню равна 99/100. За 100 независимых дней:
P(I_j=1)=(99/100)^{100}.
Число неспетых U=Σ_{j=1}^{100}I_j. По линейности ожидания, независимо от зависимости между индикаторами,
E(U)=100(99/100)^{100}≈36,603234.
Почему появляется e
(1−1/n)^n→e^{−1}. При n=100 уже получаем близкое приближение, поэтому источник округляет до 100/e≈36,79 и далее до 37.
Не нужно предполагать независимость песен
События «песня A не прозвучала» и «песня B не прозвучала» не независимы. Но для ожидания суммы это не требуется. Зависимость понадобилась бы при вычислении дисперсии числа неспетых.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 103 · CC BY 4.0. Формула источника сохранена; точное десятичное значение уточнено.