Скалярное произведение матриц: ΣAijBij = tr(AᵀB)

Условие источника

Для матриц A и B одинакового размера докажите, что сумма по всем элементам ΣᵢⱼAᵢⱼBᵢⱼ представляется как tr(AᵀB), и покажите равенство tr(AᵀB)=tr(ABᵀ)=tr(BᵀA)=tr(BAᵀ).

Ответ источника

ΣᵢⱼAᵢⱼBᵢⱼ = tr(AᵀB). Ключ затем использует цикличность следа и неизменность следа при транспонировании.

Покомпонентное доказательство

Диагональный элемент (AᵀB)ⱼⱼ равен ΣᵢAᵢⱼBᵢⱼ — скалярному произведению j-го столбца A и j-го столбца B. Суммируя диагональные элементы по j, получаем ровно сумму всех попарных произведений элементов.

Аналогично tr(ABᵀ) суммирует скалярные произведения соответствующих строк и даёт ту же величину.

Четыре записи

Для совместимых размеров tr(AᵀB)=tr(B Aᵀ) по цикличности. Кроме того, tr(M)=tr(Mᵀ), поэтому tr(AᵀB)=tr[(AᵀB)ᵀ]=tr(BᵀA). Отсюда следуют все четыре равенства.

Смысл

Эта величина называется скалярным произведением Фробениуса ⟨A,B⟩_F. Норма Фробениуса получается как ||A||_F²=tr(AᵀA)=ΣAᵢⱼ².

Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 5 · CC BY 4.0. Доказательство источника сохранено и структурировано.