Условие и запись ответа
Найдите SVD шести матриц ниже. Будем записывать X=Σσⱼuⱼvⱼᵀ, где ненулевые σⱼ положительны, а направления внутри каждой системы ортонормированы. Это сокращённое SVD; до полного его можно дополнить ортонормированными базисами нулевых пространств.
1. Матрица [[0,−7],[0,0],[0,0]]
σ=7, u=(1,0,0)ᵀ, v=(0,−1)ᵀ. Одно внешнее произведение воспроизводит единственный ненулевой элемент.
2. Матрица [[1,2],[2,1]]
σ₁=3, u₁=v₁=(1,1)ᵀ/√2. σ₂=1, u₂=(−1,1)ᵀ/√2, v₂=(1,−1)ᵀ/√2. Отрицательное собственное значение не становится отрицательным сингулярным: знак переносится в одно направление.
3. Столбец (3,4)ᵀ
σ=5, u=(3,4)ᵀ/5, v=[1].
4. Матрица [[1,1],[2,2],[2,2]]
σ=3√2, u=(1,2,2)ᵀ/3, v=(1,1)ᵀ/√2. Второе сингулярное значение в полном разложении нулевое.
5. Матрица [[3,1,1],[−1,3,1]]
σ₁=√12, u₁=(1,1)ᵀ/√2, v₁=(1,2,1)ᵀ/√6; σ₂=√10, u₂=(1,−1)ᵀ/√2, v₂=(2,−1,0)ᵀ/√5.
6. Матрица [[1,1],[0,1],[−1,0]]
σ₁=√3, u₁=(2,1,−1)ᵀ/√6, v₁=(1,1)ᵀ/√2; σ₂=1, u₂=(0,1,1)ᵀ/√2, v₂=(−1,1)ᵀ/√2.
Происхождение и проверка
В исходнике подробно заполнены пятый и шестой пункты; первые четыре дополнены редакцией. Представленные направления проверяются равенствами Xvⱼ=σⱼuⱼ и ортонормированностью. В промежуточной записи спектрального разложения для шестой матрицы в источнике есть несогласованные знаки; здесь дана непосредственно проверяемая форма самого SVD. Одновременная смена знаков uⱼ и vⱼ результата не меняет.
Борис Демешев и участники · Шесть исходных матриц · CC BY 4.0. Частичный ключ дополнен; форма записи адаптирована.