Вопрос
Проверьте четыре функции: 1[x=z]; 1[x≠z]; sin(xᵀz); cos(xᵀx)sin(zᵀz).
Ответ источника
Ядром является только первая.
1. Индикатор равенства
Для любого конечного набора различных точек Gram-матрица является единичной; при повторениях возникают блоки единиц. Такая матрица положительно полуопределена: квадратичная форма равна сумме квадратов сумм коэффициентов внутри одинаковых точек.
2. Индикатор неравенства
Для двух различных точек Gram=[[0,1],[1,0]], её собственные значения 1 и −1. Отрицательное собственное значение запрещает быть ядром.
3. sin(xᵀz)
Достаточно одномерной точки x с sin(x²)<0, например x²=3π/2. Тогда K(x,x)=−1, хотя диагональ kernel Gram должна быть неотрицательной.
4. cos(xᵀx)sin(zᵀz)
В общем случае K(x,z)≠K(z,x), поэтому нарушается необходимая симметрия действительного скалярного произведения.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 59 · CC BY 4.0. Ответ источника сохранён; контрпримеры добавлены.