E[x̄*]=700; Var(x̄*)=140000/3
Условие
Исходная выборка весов: 300, 600, 1200 г. Bootstrap-выборка содержит три независимых вытягивания с возвращением из эмпирического распределения. Найдите закон bootstrap-среднего, его моменты и законы min/max.
Закон среднего из ключа
| x̄* | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1200 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P | 1/27 | 3/27 | 3/27 | 4/27 | 6/27 | 3/27 | 3/27 | 3/27 | 1/27 |
Вероятности суммируются в 1.
Среднее и дисперсия
Одно bootstrap-вытягивание X* принимает 300,600,1200 с вероятностями 1/3. Поэтому E(X*)=700 и
Var(X*)=[(−400)²+(−100)²+500²]/3=140000.
Среднее трёх независимых вытягиваний имеет
E(x̄*)=700, Var(x̄*)=140000/3≈46666,67.
Исправление ключа
В исходном решении напечатано 14000/3. Это потерянный ноль: прямой расчёт и закон bootstrap-среднего дают 140000/3.
Максимум и минимум
Для M*=max:
P(300)=1/27, P(600)=7/27, P(1200)=19/27.
Для m*=min:
P(300)=19/27, P(600)=7/27, P(1200)=1/27.
Например, P(M*≤600)=(2/3)^3=8/27; вычитая P(M*=300)=1/27, получаем 7/27.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 104 · CC BY 4.0. Таблицы источника сохранены; дисперсия исправлена с 14000/3 на 140000/3.