Оценка страницы: p̂=1/4; эффективность сравнивается по дисперсии оценок
Условие
В учебной задаче Матроскин ежедневно ловит один объект: карася, щуку или бегемота. Карась встречается с вероятностью p, щука — с вероятностью 2p, бегемот — с вероятностью 1−3p. Дни независимы, 0≤p≤1/3. Для наблюдений «щука, карась, карась, бегемот» и общего числа исходов нужно найти оценку максимального правдоподобия, её моменты и сравнить с оценкой Шарика, который не знает отношения вероятностей.
Оценка Матроскина
Пусть K, Щ и Б — числа трёх исходов, K+Щ+Б=n. Часть правдоподобия, зависящая от p, равна pK+Щ(1−3p)Б. Множитель 2Щ и мультиномиальный коэффициент не меняют максимизатор.
Получаем p̂КМ=(K+Щ)/(3n). Для четырёх наблюдений K=2, Щ=1, Б=1, поэтому p̂=1/4. Граничные случаи всех бегемотов или их полного отсутствия дают соответственно 0 и 1/3.
Распределения счётчиков и дисперсия
Счётчики совместно мультиномиальны и в общем случае зависимы, поскольку их сумма фиксирована. Б∼Bin(n,1−3p), поэтому E(Б)=n(1−3p), Var(Б)=3np(1−3p).
Сумма K+Щ имеет Bin(n,3p). Следовательно:
E(p̂КМ)=p;
Var(p̂КМ)=p(1−3p)/(3n).
В исходном ответе дисперсия записана без деления на 3. Здесь исправление показано явно: Var(K+Щ)=3np(1−3p), а квадрат знаменателя оценки равен 9n².
Оценка Шарика
Без известного отношения частот максимальное правдоподобие даёт обычную долю карасей p̂ПШ=K/n. Она несмещённа, её дисперсия p(1−p)/n. Обе оценки состоятельны по закону больших чисел.
При верной информации о соотношении вероятностей оценка Матроскина имеет меньшую дисперсию для 0<p≤1/3. Разность дисперсий равна 2p/(3n). Дополнительное знание позволяет использовать щук как информацию о вероятности карася. Если отношение 2p неверно, это сравнение эффективности уже не относится к действительной модели.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 4.1 · CC0 1.0. Оценки сохранены; дисперсия исправлена, сравнение дополнено.