Одинаково звучащая информация «мы увидели мальчика» может быть получена разными способами. Вероятность состава семьи зависит от процедуры наблюдения, а не только от последнего произнесённого слова.
|Ω|=196; |E|=27; |mixed∩E|=14; P(mixed|E)=14/27Учебная модель
У Маши двое детей, один старше другого. Пол каждого в модели равновероятно принимает два значения, а результаты независимы. Требуется найти вероятность детей обоих полов при четырёх разных условиях. Это вероятностная идеализация, не демографическое утверждение.
Для последнего пункта дополнительно предполагаем независимые равномерные дни недели рождения, независимые от пола. Без модели дней недели число 14/27 не определяется одними предпосылками о поле.
Хотя бы один ребёнок — мальчик
Упорядоченные пары полов ММ, МД, ДМ, ДД равновероятны. Условие исключает только ДД. Дети обоих полов встречаются в двух из трёх оставшихся исходов:
P(оба пола | хотя бы один мальчик) = 2/3.
Случайно выбранный ребёнок оказался мальчиком
Маша независимо и равновероятно выбирает одного из двух детей и отправляет вернуть учебник. Посланный ребёнок оказывается мальчиком. Теперь нужно учитывать и состав семьи, и выбор ребёнка.
Семья ММ всегда даёт мальчика; каждая из МД и ДМ — с вероятностью 1/2. Совместная вероятность смешанной семьи и выбранного мальчика равна 1/4, а вероятность выбранного мальчика — 1/2:
P(оба пола | выбранный ребёнок мальчик) = 1/2.
Старший ребёнок — мальчик
Остаются ММ и МД с равными вероятностями. Поэтому ответ снова 1/2. Здесь фиксирована конкретная позиция, а не событие существования мальчика где-нибудь в паре.
Есть сын, родившийся в пятницу
Каждый ребёнок имеет 14 равновероятных сочетаний пола и дня недели. Для двух упорядоченных детей всего 196 исходов. Без мальчика, рождённого в пятницу, у каждого остаётся 13 сочетаний, поэтому условию соответствует 196 − 13² = 27 исходов.
Для семьи обоих полов мальчик должен быть рождён в пятницу, девочка — в любой из семи дней. Есть два порядка детей, значит подходящих исходов 2 · 7 = 14:
P(оба пола | есть сын, родившийся в пятницу) = 14/27.
Что именно было сообщено
Последний ответ относится к правдивому ответу на заранее заданный вопрос о пятнице. Он не переносится автоматически на ситуацию, когда родитель сам выбирает, какой интересный факт о ребёнке сообщить. Механизм отбора информации — часть условия.
Четыре ответа совпадают с источником. Здесь подробно разобраны пространства исходов и явно добавлена модель дней недели, необходимая для последнего числа.
Остановка после появления детей обоих полов · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.12 · CC BY 4.0. Адаптация; предпосылки и подсчёт уточнены.