Условие
Для всех действительных c найдите максимум z=cx₁+x₂ при 2x₁+3x₂≤6, x₁≥0, x₂≥0. Укажите все оптимальные точки, включая граничный случай.
Решение редакции
Допустимая область — треугольник с вершинами O=(0,0), A=(3,0), B=(0,2). Значения линейной функции в вершинах равны 0, 3c и 2. Поэтому z*=max(2,3c). Значение в O никогда не бывает максимальным: в B оно равно 2 независимо от c.
| Параметр | Все оптимальные точки | Максимум |
|---|---|---|
| c<2/3 | (0,2) | 2 |
| c=2/3 | (t, 2−2t/3), 0≤t≤3 | 2 |
| c>2/3 | (3,0) | 3c |
При c=2/3 целевая функция совпадает с левой частью активного ограничения, делённой на 3: z=(2x₁+3x₂)/3. Вдоль ребра AB она постоянна. При меньшем c переменная x₂ приносит больше результата на единицу ресурса: её отдача равна 1/3, а отдача x₁ — c/2. Сравнение этих отдач даёт тот же порог.
Проверка
Точный перебор вершин с рациональными значениями c=−2, 0, 1/2, 2/3, 1, 10 подтверждает все три режима. Для любой допустимой точки при c≤2/3 имеем z≤(2x₁+3x₂)/3≤2; при c≥2/3 имеем z≤(c/2)(2x₁+3x₂)≤3c.
Что не следует из ответа
Равенство значений в двух вершинах означает здесь оптимальность всего соединяющего их ребра. Оно не означает оптимальность всего треугольника: например, O даёт 0. Отрицательный c не делает задачу неограниченной, поскольку сама допустимая область ограничена.
Борис Демешев и участники · «Задачки по методам оптимальных решений», задание и исходное решение, строка 642 · CC0 1.0. Адаптация damirock.com: самостоятельное полное решение, добавлены все оптимальные точки, ресурсная интерпретация и две верхние оценки.