Условие
Найдите максимум z=x₁+2x₂+3x₃ при x₁+x₂+2x₃≤10, 2x₁+x₂+x₃≤5, x₁,x₂,x₃≥0. Введите запасы x₄,x₅, найдите стартовый базис и оптимум.
Решение источника
Источник вводит x₃ в базис и получает z=15. В подписи к финальной таблице написан вектор (0,0,5,10,0). Его четвёртая координата ошибочна: в этой точке первое ограничение исчерпано полностью.
Редакционное объяснение
Канонические равенства: x₁+x₂+2x₃+x₄=10 и 2x₁+x₂+x₃+x₅=5. Начальная точка (0,0,0,10,5). Для ввода x₃ отношения равны 10/2=5 и 5/1=5 — ничья. Можно вывести x₅. Тогда x₃=5−2x₁−x₂−x₅, x₄=3x₁+x₂+2x₅ и z=15−5x₁−x₂−3x₅.
Все три вычитаемых слагаемых неотрицательны. Следовательно, z≤15, причём равенство возможно только при x₁=x₂=x₅=0. Отсюда x₃=5, x₄=0. Полный правильный вектор — (0,0,5,0,0). Базис из x₃,x₄ вырожден: одна базисная переменная равна нулю. Вырожденность не мешает этому оптимуму быть единственным.
Проверка
Подстановка ошибочного вектора в первое равенство даёт 2·5+10=20 вместо 10. Подстановка исправленного даёт 10 и 5. Ещё один сертификат: из второго ограничения z=3(2x₁+x₂+x₃)−5x₁−x₂≤15. Точный перебор базисов подтверждает единственность оптимальной точки.
Что не следует из ответа
Ничья в правиле отношений допускает выбор выходящей переменной, но не разрешает оставить оба запаса положительными. Нулевая базисная переменная не делает базис недопустимым. Оптимальная точка и набор столбцов базиса — разные объекты.
Борис Демешев и участники · «Задачки по методам оптимальных решений», задание и исходное решение, строка 872 · CC0 1.0. Адаптация damirock.com: исправлено x₄=10 на x₄=0, объяснены вырожденность и ничья, добавлен независимый сертификат.