Условие
Исследуйте max(x₁+x₂) при x₁+x₂≥1, x₁≥x₂, x₁,x₂≥0. Дайте графическое решение и объясните, как неограниченность видна в симплекс-методе.
Решение источника
Источник заканчивает решение пометкой «неограниченная задача». Приведённая таблица содержит направление, по которому целевая функция может увеличиваться без ограничивающего положительного коэффициента.
Редакционное объяснение
Точка (1,0) допустима. Направление d=(1,0) сохраняет оба ограничения: для любого t≥0 вектор (1+t,0) имеет сумму не меньше 1 и первую координату не меньше второй. Цель равна 1+t. Следовательно, для любого предложенного конечного значения можно выбрать точку с большей целью.
Каноническая форма с избыточными переменными: x₁+x₂−x₃=1, x₁−x₂−x₄=0, xᵢ≥0. Начальная допустимая точка (1,0,0,1). Вдоль найденного луча полный вектор равен (1+t,0,t,1+t). Возрастание x₃ не требует отрицательных координат. В словаре или таблице это проявляется как возможность увеличивать улучшающую небазисную переменную без конечного минимального отношения.
Корректный ответ: допустимая область непуста, супремум цели +∞, конечной оптимальной точки нет. Не следует записывать «оптимальная точка в бесконечности»: бесконечность не является координатой допустимого вектора.
Проверка
Подстановка полного вектора даёт (1+t)+0−t=1 и (1+t)−0−(1+t)=0. Все координаты неотрицательны. Например, t=0,10,100 даёт цели 1,11,101. Этот луч служит доказательством для всех t, а не только для выбранных чисел.
Что не следует из ответа
Неограниченная область может иметь конечный минимум или максимум при другой цели. Здесь неограниченность результата доказана ростом именно x₁+x₂. Несовместность ограничений — другой случай: у этой задачи допустимые точки есть.
Борис Демешев и участники · «Задачки по методам оптимальных решений», задание и исходное решение, строка 1143 · CC0 1.0. Адаптация damirock.com: добавлены явный луч, полный канонический вектор и связь с диагностикой симплекс-метода.