Условие
Решите для всех a∈ℝ задачу max(x₁+3x₂) при 2x₁+ax₂≤6, x₁≥0, x₂≥0.
Решение редакции
Сначала отделим a≤0. Точки (0,t), t≥0, удовлетворяют ограничению, потому что at≤0≤6. Целевая функция в них равна 3t и растёт без границы. Допустимые точки существуют, но конечного максимума нет.
При a>0 область — треугольник с вершинами (0,0), (3,0), (0,6/a). Значения функции в последних двух вершинах равны 3 и 18/a. Сравнение даёт:
| Режим | Оптимальные точки | Значение |
|---|---|---|
| a≤0 | Конечного оптимума нет | Супремум +∞ |
| 0<a<6 | (0,6/a) | 18/a |
| a=6 | (3−3t,t), 0≤t≤1 | 3 |
| a>6 | (3,0) | 3 |
При a=6 целевая функция равна половине ресурсного ограничения: x₁+3x₂=(2x₁+6x₂)/2. При 0<a<6 ресурс выгоднее отдавать x₂; при a>6 — x₁. Геометрически уменьшение положительного a поднимает пересечение границы с осью x₂, а при достижении нуля верхняя граница по x₂ исчезает.
Проверка
При a=1,3,6,10 точные значения в вершинах дают соответственно 18,6,3,3. Для a≤0 последовательность (0,n) — явный сертификат неограниченности. Подстановка (3−3t,t) при a=6 даёт равенство ограничения и значение 3.
Что не следует из ответа
Нельзя делить на a до проверки его знака. Формула 6/a не задаёт вершину в первом квадранте при a<0 и не определена при a=0. Неограниченная область сама по себе ещё не гарантирует неограниченности целевой функции; здесь это доказывает конкретный луч.
Борис Демешев и участники · «Задачки по методам оптимальных решений», задание и исходное решение, строка 656 · CC0 1.0. Адаптация damirock.com: самостоятельное решение по всем значениям параметра, явный луч неограниченности и разбор случая a=0.