Винеровский процесс: E(W5W4|W4), conditional variance и covariance произведений

Ответ источника

Для Wiener process:

E(W_5W_4|W_4)=W_4²,

Var(W_5W_4|W_4)=W_4²,

Cov(W_4W_5,W_5W_6)=40.

W_5=W_4+Z, где Z~N(0,1) независимо от F_4. Поэтому W_5W_4=W_4²+W_4Z. Условное среднее — W_4², conditional variance — W_4²Var(Z)=W_4².

Четвёрка (W_4,W_5,W_5,W_6) jointly Gaussian. По Isserlis E(W_4W_5²W_6)=Cov(4,5)Cov(5,6)+Cov(4,5)Cov(5,6)+Cov(4,6)Var(W_5)=4·5+4·5+4·5=60.

E(W_4W_5)=4, E(W_5W_6)=5, поэтому covariance=60−20=40.

stochastic_pro, задача 200 · CC0 1.0. Оба результата источника сохранены и проверены.