Условие
X_t iid, E(X_t)=2, Var(X_t)=3. F_t=σ(X_1,…,X_t), S_t=ΣX_i, W_t=S_t−2t, Y_t=W_t²−3t. Какие процессы являются мартингалами относительно указанных фильтраций?
Ответ источника
X_t — нет; S_t — нет; W_t — да; Y_t — да относительно F_t. W_t не является мартингалом относительно F_{t−1} и F_{t+1}.
Почему Wt
W_{t+1}=W_t+(X_{t+1}−2), а новая центрированная добавка имеет условное среднее 0. Поэтому E(W_{t+1}|F_t)=W_t.
Почему Yt
Пусть Z_{t+1}=X_{t+1}−2, E(Z)=0, E(Z²)=3. Тогда
E(W_{t+1}²|F_t)=W_t²+3,
поэтому E[Y_{t+1}|F_t]=W_t²+3−3(t+1)=Y_t.
Для F_{t−1} процесс W_t не адаптирован: текущее X_t ещё неизвестно. Для F_{t+1} условное ожидание будущего относительно слишком богатой sigma-algebra не выполняет нужную рекурсию.
stochastic_pro, задача 142 · CC0 1.0. Шесть классификаций ключа сохранены.