Если E(X|X+Y)=X+Y при независимых X,Y, то Y=0 почти наверное

Условие

X и Y независимы, имеют конечные mean/variance, и известно E(X|X+Y)=X+Y. Что можно вывести о Y и условной дисперсии X?

E(Y|X+Y)=0, поэтому E(Y)=0.

Далее Var(Y)=0 и Var(X|X+Y)=0. Следовательно, Y=0 почти наверное.

Поскольку X+Y измерима относительно себя,

E(Y|S)=E(S−X|S)=S−E(X|S)=0.

Источник применяет закон полной дисперсии к X. Независимость даёт Var(S)=Var(X)+Var(Y), а условие E(X|S)=S — Var(E(X|S))=Var(S). Тогда

Var(X)=Var(S)+E Var(X|S)=Var(X)+Var(Y)+E Var(X|S).

Обе последние величины неотрицательны и их сумма равна нулю, значит обе нулевые.

stochastic_pro, задача 128 · CC0 1.0. Все выводы ключа сохранены.