Условие
X,Y независимы U[0,1]. V_n=n²Y·I(X≤1/n), W_n=Y·I(X>1/n). Исследуйте convergence in probability и mean square.
Ответ источника
V_n→p0; W_n→pY. V_n не сходится в mean square; W_n сходится к Y в mean square.
Vn по вероятности
V_n ненулевой только при X≤1/n, вероятность этого события равна 1/n→0. Поэтому для любого ε>0 P(|V_n|>ε)≤1/n→0.
Почему mean square ломается
E(V_n²)=n⁴E(Y²)P(X≤1/n)=n⁴·(1/3)·(1/n)=n³/3, что не стремится к нулю.
Wn
W_n−Y=−YI(X≤1/n). Поэтому E[(W_n−Y)²]=E(Y²)/n=1/(3n)→0. Mean-square convergence автоматически влечёт convergence in probability.
Пример показывает, почему редкое событие с огромной амплитудой может исчезать по вероятности, но разрушать моментную сходимость.
stochastic_pro, задача 76 · CC0 1.0. Все три выводы источника сохранены.