Если E(Yn)=1/n и Var(Yn)=σ²/n: Yn→p0 и X+Yn→pX

Из среднего и дисперсии через Chebyshev получаем Yn→p0; добавление произвольной X даёт X+Yn→pX.

Условие

E(Y_n)=1/n, Var(Y_n)=σ²/n. Пусть W_n=X+Y_n для произвольной случайной X. Найдите probability limits.

Ответ источника

plim Y_n=0 и plim W_n=X.

Доказательство первого

E(Y_n)→0 и E(Y_n²)=Var(Y_n)+E(Y_n)²=σ²/n+1/n²→0. Следовательно, Y_n→0 даже в mean square, а значит и по вероятности.

Второй предел

W_n−X=Y_n→p0, поэтому W_n→pX. Независимость X и Y_n для этого не требуется.

Это простейшая форма Slutsky: добавление исчезающей по вероятности ошибки не меняет предел основной случайной величины.

stochastic_pro, задача 74 · CC0 1.0. Оба ответа источника сохранены.