Задача
X₁,…,Xₙ iid U[0,1]. Найдите распределения минимума X_(1), максимума X_(n) и ожидаемый диапазон.
Минимум
P(X_(1)>x)=(1−x)^n. Поэтому
F_min(x)=1−(1−x)^n, плотность n(1−x)^{n−1}, E(min)=1/(n+1).
Максимум
F_max(x)=x^n, плотность nx^{n−1}, E(max)=n/(n+1).
Range
R=max−min. По линейности ожидания
E(R)=(n−1)/(n+1).
Пример n=9
E(min)=0,1, E(max)=0,9, E(range)=0,8.
Минимум и максимум зависимы, но для ожидания их разности независимость не требуется.
Редакционная практика по порядковым статистикам statistics_pro · CC0 1.0.