Задача
S₀=0, шаги ±1 равновероятны. T — первый момент попадания в −a или b, a,b положительные целые. Найдите вероятность выхода через b и E(T).
Первый мартингал
S_t — мартингал. При допустимом optional stopping:
0=E(S_T)=b·p+(−a)(1−p).
Отсюда p=P(S_T=b)=a/(a+b).
Квадратичный мартингал
S_t²−t — мартингал. Поэтому E(T)=E(S_T²).
E(S_T²)=b²·a/(a+b)+a²·b/(a+b)=ab.
Симметричный случай
При a=b=m вероятность каждого выхода 1/2, а среднее время m².
Границы конечны, поэтому время остановки имеет хорошие свойства для стандартного применения теоремы. Для неограниченных stopping times условия нужно проверять отдельно.
Редакционная практика по optional stopping из tssp_exams · CC0 1.0.