Задача
x_t=0,7x_{t−1}+u_t, Var(u)=4. Найдите дисперсию ошибки прогноза на h шагов и 95%-й интервал для h=3 при нормальном шуме.
Ошибка прогноза
x_{t+h}−E_t x_{t+h}=u_{t+h}+0,7u_{t+h−1}+…+0,7^{h−1}u_{t+1}.
По независимости:
Var(e_h)=4Σ_{j=0}^{h−1}0,7^{2j}=4(1−0,7^{2h})/(1−0,49).
Три шага
1+0,49+0,2401=1,7301, поэтому Var(e_3)=6,9204, se≈2,63067.
Интервал
Если инновации нормальны, условный прогнозный интервал:
ŷ_{t+3|t} ± 1,959964·2,63067, то есть примерно ±5,156.
Предел
При h→∞ дисперсия прогноза стремится к безусловной дисперсии 4/(1−0,49)=7,843137. Чем дальше горизонт, тем меньше информации о конкретном будущем значении остаётся в текущем x_t.
Редакционная практика по прогнозированию из tssp_exams · CC0 1.0.