Модель
X₁,…,Xₙ независимы и имеют распределение N(2a,a), где a>0. Требуется вывести оценку максимального правдоподобия.
Логарифм правдоподобия
С точностью до константы
ℓ(a)=−(n/2)ln a − [1/(2a)]Σ(Xᵢ−2a)².
Раскрывая квадрат, получаем
ℓ(a)=const−(n/2)ln a−ΣXᵢ²/(2a)+2ΣXᵢ−2na.
Условие первого порядка
Производная:
ℓ′(a)=−n/(2a)+ΣXᵢ²/(2a²)−2n.
После умножения на 2a²:
4na²+na−ΣXᵢ²=0.
Положительный корень:
â=[−1+√(1+16·mean(X²))]/8.
Почему выборочное среднее не входит явно
Параметр одновременно управляет средним и дисперсией. После раскрытия квадрата член 2ΣXᵢ не зависит от a и исчезает из score. Это особенность конкретной связи μ=2a, σ²=a.
Метод первого момента дал бы X̄/2; это другая оценка и она может оказаться отрицательной при конечной выборке, хотя a>0.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-01 · закреплённый источник · CC0 1.0. Решение редакции к открытому заданию.