Модель задания
Три исхода имеют вероятности a, 2a и 1−3a. По независимой выборке наблюдаются частоты n₁,n₂,n₃, n=n₁+n₂+n₃. Найдите допустимую область параметра и оценку максимального правдоподобия.
Допустимые значения
Все вероятности должны быть неотрицательны, поэтому 0≤a≤1/3.
Правдоподобие
С точностью до мультиномиального коэффициента
L(a)∝a^{n₁}(2a)^{n₂}(1−3a)^{n₃}∝a^{n₁+n₂}(1−3a)^{n₃}.
При внутренних частотах score:
(n₁+n₂)/a − 3n₃/(1−3a)=0.
Отсюда
â=(n₁+n₂)/(3n).
Проверка
Оценка использует суммарную долю первых двух категорий, потому что их общая вероятность равна 3a. Отношение первой ко второй внутри этой объединённой группы фиксировано моделью как 1:2 и не несёт дополнительной информации об a.
Если n₁+n₂=0, максимум на границе a=0. Если n₃=0, максимум на границе a=1/3. Формула выше автоматически даёт эти значения.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · домашнее задание ha-01 · закреплённая редакция · CC0 1.0. Условие из открытого задания; решение редакции.